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工具变量法2SLS与GMM

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第 10 章 工具变量,2SLS 与 GMM 10.1 解释变量与扰动项相关的例子 例 农产品市场均衡模型 ?qd ? ? ? ? p ? u ?? qt s ? 0 ? ? 1t ?p? v t ? t qd ? q0 s 1t t ?t t (需求) (供给) (均衡) 1 令q ? qd ? qs ,可得 t t t ??qqt ????0 ? ? ??1ppt ? ? uv t ?t 0 1t t 两个方程中的被解释变量与解释变量完全一样。 如直接作回归q ?O?LS?? p ,估计的是需求函数还是供给函数? t t 2 图 10.1 需求与供给决定市场均衡 3 把线性方程组中的( pt , qt )看成是未知数(内生变量),把(ut , vt ) 看 作已知,可求解( pt , qt )为(ut , vt )的函数: ?p t ? ?? q ? p (u t ? q (u ,v t ,v ) t ?? ?? 0 ? ? ?? 0 ? v?t ??ut?? ) ? ?1?1 0 1 ? ?0 ?1 1 ? 1 ?1vt ? ?1ut ?? t t tt ?1 ? ?1 ?1 ? ?1? ? ? 由于 pt 为(ut , vt ) 的函数,故Cov( pt , ut ) ? 0,Cov( pt , vt ) ? 0。 OLS 估计值??1, ??1不是??1, ?1的一致估计量。 称这种偏差为“联立方程偏差”(simultaneity bias)或“内生变量 偏差”(endogeneity bias)。 4 如能将内生变量分成两部分,一部分与扰动项相关,另一部分 与扰动项不相关,可用与扰动项不相关的那部分得到一致估计。 这种分离常借助另一“工具变量”来实现。 假设在图 10.1 中,存在某个因素(变量)使得供给曲线经常移动, 而需求曲线基本不动,则可估计需求曲线,参见图 10.2。 这个使得供给曲线移动的变量就是工具变量。 假设供给方程的扰动项可分解为两部分,即可观测的气温xt 与不 可观测的其他因素: qs ? ? ? ? p ? ? x ?v t 0 1t 2t t 5 图 10.2 稳定的需求与变动的供给 6 假定气温 xt 是 前 定 变 量 , 与 两 个 扰 动 项 都 不 相 关 , 即 Cov(xt , ut ) ? 0,Cov(xt , vt ) ? 0。 由于气温x 的变化使得供给函数qs 沿着需求函数qd 移动,故可估 t t t 计需求函数qtd 。 此时,称xt 为“工具变量”(Instrumental Variable,简记 IV)。 在回归方程中(此处为需求方程),一个有效(valid)的工具变量应 满足以下两个条件。 (i) 相关性:工具变量与内生解释变量相关,即Cov(xt , pt ) ? 0。 (ii) 外生性:工具变量与扰动项不相关,即Cov(xt , ut ) ? 0。 7 工具变量的外生性也称“排他性约束”(exclusion restriction), 因为外生性意味着,工具变量影响被解释变量的唯一渠道是通过 与其相关的内生解释变量,它排除了所有其他的可能影响渠道。 在本例中,气温xt 满足这两个条件。 (i) 相 关 性 : 从 联 立 方 程 组 可 解 出 pt ? pt (xt , ut , vt ) , 故 Cov(xt , pt ) ? 0。 (ii) 外生性:因为气温xt 是前定变量,故Cov(xt , ut ) ? 0。 利用工具变量的这两个性质,可得到对?1 的一致估计。 8 同时对需求方程qt ? ?0 ?? ?1pt ? ut 两边求与xt 的协方差: Cov(qt , xt ) ? Cov(?0 ??1 pt ? ut , xt ) ? ?1 Cov( pt , xt ) ? Cov(ut , xt ) ? ?????? ?1 Cov( pt , xt ) ?0 根据工具变量的相关性,Cov( pt , xt ) ? 0,可把上式两边同除 以Cov( pt , xt ): ?1 ? Cov(qt , xt ) Cov( p , x ) tt 使用对应的样本值,可得一致的“工具变量估计量” (Instrumental Variable Estimator): 9 ?? 1, IV ??C? oC? ovv((qp,x,x)t) t ?p?? Cov(q , t Cov( p , x t x ) ) ? ??1 tt tt 如果工具变量与内生变量无关,Cov(xt , pt ) ? 0,则无法定义工 具变量法。 如果工具变量与内生变量的相关性很弱,Cov(xt , pt ) ? 0,会导 致估计量??1, IV 的方差变得很大,称为“弱工具变量问题”。 传统的工具变量法通过“二阶段最小二乘法”(Two Stage Least Square,简记 2SLS 或 TSLS)来实现。 10 第一阶段回归:用内生解释变量对工具变量回归,即 pt ?O?LS?? xt ,得到拟合值 p?t 。 第二阶段回归:用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回 归,即q ?O?LS?? p? 。 t t 为什么这样做能得到好结果?把需求方程qt ? ?0 ??1 pt ? ut 分解 qt ? ?0 ? ?1 p?t ? ?ut ? ?1( pt ? p?t )?? ???????? ? ?t 命题 在第二阶段回归中,p?t 与新扰动项?t ? ut ? ?1( pt ? p?t )不相 关。 11 证明:由于?t ? ut ? ?1( pt ? p?t ),故 C



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