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08无限弹性介质中的弹性波

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第八章 无限弹性介质中的弹性波

主讲教师: 主讲教师:欧阳辉
中国地质大学力学教研室

振动在空间的传播过程称为波动,简称为波 振动在空间的传播过程称为波动,简称为波。 在弹性动力学中,把所研究的弹性体称为弹性介质。 在弹性动力学中,把所研究的弹性体称为弹性介质。当外 弹性介质 力很小且作用时间很短时, 力很小且作用时间很短时,自然界大部分固体都可以*似地看成 为理想弹性介质。 为理想弹性介质。 实践证明:弹性介质受到外力作用时, 实践证明:弹性介质受到外力作用时,并非在弹性介质的 所有各部分都立即引起位移、应变和应力,而是在作用开始时, 所有各部分都立即引起位移、应变和应力,而是在作用开始时, 距离外力作用处较远的部分保持不受干扰。 距离外力作用处较远的部分保持不受干扰。 在外力作用开始后,在作用处产生变形, 在外力作用开始后,在作用处产生变形,从而使该处质点 产生振动,这种振动,通过介质内质点间的相互作用而在介质内 产生振动,这种振动, 由*及远向外传播。 由*及远向外传播。 质点振动在弹性介质中的传播过程,称为弹性波 弹性波。 质点振动在弹性介质中的传播过程,称为弹性波。 用波的振幅、频率、位相、波速等来描述弹性波的特性。 用波的振幅、频率、位相、波速等来描述弹性波的特性。 振幅 等来描述弹性波的特性

? 变形物体受突加载荷作用后,将产生变形。这种 变形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物 体的其它部分。在开始时刻,物体的变形仅仅在 加载区域的临*区域产生,而这个邻域以外的部 分则仍处于未扰动状态。其后,物体的变形和应 力便以波的形式向远处传播。 ? 由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的 多,因此,物体运动方式主要表现为波的传播。 ? 根据介质的物理性质,边界条件和载荷的作用 方式,波的传播过程将呈现各种不同的特性。

弹性波 elastic wave
? 应力波的一种,扰动或外力作用引起的应力和应变在弹性 介质中传递的形式,并伴有能量传递。弹性波理论比较成熟, 广泛应用于地震、地质勘探、工程结构的抗震抗爆、岩土动力 学等方面。对于均匀各向同性介质,波在各方向的传播速度都 相同。在无限介质中传播的波称为体波。按传播方向和介质质 点振动方向之间的关系,体波分为纵波和横波。此外,还有一 类沿着一个弹性介质表面或两个不同弹性介质界面传播的波, 称为界面波。若与弹性介质相邻的是稀疏介质(如空气),则界 面波称为表面波。界面波的一个特征是,质点扰动振幅随质点 离界面距离的增大而迅速衰减,所以界面波只存在于表面或界 面附*。常见的界面波有瑞利波、乐甫波等。弹性波在弹性体 内传播时,会形成拉压波、弯曲波和剪切波。弹性波绕经* 物或孔洞时还会发生复杂的衍射现象。现代电子技术的发展, 推动了弹性波的实验研究;此外,还发展了弹性波传播问题的 数值解法。

波前、波尾的概念 波前、波尾的概念 当弹性波在某个介质中传播的某一瞬时, 当弹性波在某个介质中传播的某一瞬时,介质中某个区域内 的质点在振动着。而介质的这个区域由两个闭合的面所限制。 的质点在振动着。而介质的这个区域由两个闭合的面所限制。 其中一个面以外的区域,波的影响尚未达到, 其中一个面以外的区域,波的影响尚未达到,这个面称为弹 性波在此瞬时的波前 波前。 性波在此瞬时的波前。 另一个面以内的区域,波所引起的振动已经停止了, 另一个面以内的区域,波所引起的振动已经停止了,这个面 称为波尾 波尾。 称为波尾。 根据波前的形状,通常把波分为球面波、柱面波、*面波等。 根据波前的形状,通常把波分为球面波、柱面波、*面波等。 随着振动的传播,其波前和波尾两个曲面也是随着时间不断* 随着振动的传播,其波前和波尾两个曲面也是随着时间不断* 因此,描述波前和波尾要指明是某一瞬时。 因此,描述波前和波尾要指明是某一瞬时。

我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果, 我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果,通常可以认 为以弹性波的形式在岩石中传播,这就是地震波, 为以弹性波的形式在岩石中传播,这就是地震波,地震波实质 上就是一种在岩石中传播的弹性波。 上就是一种在岩石中传播的弹性波。 本章研究在无限弹性介质中的弹性波,主要讨论: 本章研究在无限弹性介质中的弹性波,主要讨论: 1、在无限弹性介质中存在哪些弹性波; 、在无限弹性介质中存在哪些弹性波; 2、弹性波的传播速度; 、弹性波的传播速度; 3、能量密度和能流密度。 能量密度和能流密度。 无限弹性介质, 无限弹性介质,实际上是指当弹性波在均匀各向同性介 质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。 质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。

?

地震勘探是地球物理勘探中一种最重要的的方法。它 的原理是由人工制造强烈的震动(一般是在地下不深处的 爆炸)所引起的弹性波在岩石中传播时,当遇着岩层的分 界面,便产生反射波或折射波,在它返回地面时用高度灵 敏的仪器记录下来,根据波的传播路线和时间,确定发生 反射波或折射波的岩层界面的埋藏深度和形状,认识地下 地质构造,以寻找油气圈闭。 纵波质点位移的方向与波的传播方向*行,横波的质点位 移方向与波的传播方向垂直。现在通用的地震勘探方法采 集的是纵波的讯号,采集横波讯号的称做地震横波勘探。 横波在判断岩性、裂缝和含油气性方面有其固有的优点。 此种勘探方法在我国正处于研究和实验阶段。

? 地震横波勘探 地震波(弹性波)的传播有纵波与横波两种,

§8-1无限弹性介质中的*面波 无限弹性介质中的*面波

纵波和横波

在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时, 在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时,外力 所引起的位移、 所引起的位移、应变和应力就将以弹性波的形式从此点传播 开来,其波前为球面,故为球面波。 开来,其波前为球面,故为球面波。 在离开此点较远处, 在离开此点较远处,可以忽略球面的曲率作为*面波来 考虑。 考虑。 考虑*面波传播时,介质质点的位移分量为: 考虑*面波传播时,介质质点的位移分量为:

u =u(x,t);v = w=0
我们作一个和ox轴垂直的*面,则该*面只是在 方向有 我们作一个和 轴垂直的*面,则该*面只是在x方向有 轴垂直的*面 一个相同的位移, 轴方向上没有位移。 一个相同的位移,在y和z轴方向上没有位移。 和 轴方向上没有位移 即该*面在弹性介质运动中只产生x方向的*行移动, 即该*面在弹性介质运动中只产生 方向的*行移动, 方向的*行移动 移动后仍然垂直于ox轴 移动后仍然垂直于 轴,因而在运动中该*面上的点始终保 持在一个*面上,故这种位移的传播为*面波。 持在一个*面上,故这种位移的传播为*面波。

分析弹性介质内以ox轴为法线的一系列*面: 分析弹性介质内以 轴为法线的一系列*面: 轴为法线的一系列*面 这些*面都沿着ox轴移动,相互接*或远离,原来间隔 这些*面都沿着 轴移动,相互接*或远离, 轴移动 相等的*面,移动时间隔就不相等, 相等的*面,移动时间隔就不相等,这样发生了疏密相间的现 象。 波的传播方向与质点位移的方向*行, 波的传播方向与质点位移的方向*行,即质点振动所沿 的直线与振动传播所沿的直线*行,称此波为*面纵波 *面纵波。 的直线与振动传播所沿的直线*行,称此波为*面纵波。 传播条件就是要满足拉梅方程,不计体力的影响。 传播条件就是要满足拉梅方程,不计体力的影响。

?θ t ?2u +? 2u+ ρX ? ρ 2 =(λ +?) ?t ?x ?θ t ?2v +? 2v+ ρY ? ρ 2 =(λ +?) ?t ?y ?θ t ?2w ρ 2 =(λ +?) +? 2w+ ρZ ? ?t ?z

u =u(x,t);v = w=0
?u ?v ?w ?u θt = ε x + ε y + ε z = + + = ?x ?y ?z ?x 2 2 2 ?θ t ? u ?θ t ? u ?θ t ? u = 2, = =0, = =0 ?x ?x ?y ?x?y ?z ?x?z
?2u 2 2 2 ? u = 2 ,? v =0,? w=0 ?x ?2v ?2w = 2 =0, X =Y = Z =0 2 ?t ?t ?2u ?2u ?2u ?2u ρ 2 =(λ +?) 2 +? 2 =(λ +2?) 2 ?t ?x ?x ?x

?2u (λ +2?) ?2u ?2u 2 (λ +2?) = =Vp2 2 ;Vp = ?t2 ?x ρ ?x2 ρ
?2u ?2u =Vp2 2 ?t2 ?x
称为*面纵波的波动方程。 称为*面纵波的波动方程。

解此偏微分方程;(二阶线形偏微分方程),其通解为: 解此偏微分方程;(二阶线形偏微分方程),其通解为: ;(二阶线形偏微分方程),其通解为

u =u +u2 = f1(x?Vpt) + f2(x +Vpt) 1
f为任意函数。 为任意函数。 为任意函数 物理意义: 1 物理意义: u = f1(x ?V t) p 对于任一瞬时t, 为 的函数 可以用曲线ABC表示 的函数, 对于任一瞬时 ,u为x的函数,可以用曲线 表示 此曲线表示在该瞬时,弹性介质内各点因干扰而产生的 此曲线表示在该瞬时, 位移,曲线的形状决定于f函数 函数。 位移,曲线的形状决定于 函数。

u 1
A

B ′ A
Vp? t

B′ B
′ C

x

经过时间间隔

? t

x ?Vpt 将成为 x ?Vp (t +? ) = x ?Vpt ?Vp? t t u 也将改变数值 1
如果将坐标x增大 如果将坐标 增大

? =Vp? x t

u 的数值将不改变 1

说明瞬时t所作的曲线 只要把它沿x方向移动一个 说明瞬时 所作的曲线ABC只要把它沿 方向移动一个 所作的曲线 只要把它沿 距离,如图中的A’B’C’,就适用于下个瞬时 距离,如图中的 , 距离

? =Vp? x t

下个瞬时

t +? t

u = f1(x?Vpt) 1

表示一个沿x方向传播的纵波。 表示一个沿 方向传播的纵波。 方向传播的纵波

它的传播速度就是 Vp =

? x (λ +2?) = ? t ρ

应用几何方程求出相对应的应变分量: 应用几何方程求出相对应的应变分量: 沿x方向的正应变为: 方向的正应变为: 方向的正应变为

?u1 df1 ( x ? V p t ) ? ( x ? V p t ) d εx = = = f1 (ξ ) ?x d ( x ? Vpt ) ?x dξ

ξ = x ? Vpt

其余的应变分量都等于零, 其余的应变分量都等于零,说明弹性介质的每一个点都 始终处于方向的简单拉压状态。 始终处于方向的简单拉压状态。 由物理方程求应力分量: 由物理方程求应力分量:

E (1 ? υ ) σ x = λθ t + 2?ε x = (λ + 2? )ε x = εx (1 + υ )(1 ? 2υ ) Eυ σ y = λθ t + 2?ε y = λε x = εx (1 + υ )(1 ? 2υ ) Eυ σ z = λθ t + 2?ε z = λε x = εx (1 + υ )(1 ? 2υ )

τ xy = τ yz = τ zx = 0

各个正应力分量之间的关系为: 各个正应力分量之间的关系为:

σy σz υ = = σ x σ x 1 ?υ

弹性介质内质点沿x方向的速度分量为: 弹性介质内质点沿 方向的速度分量为: 方向的速度分量为

?u1 df1 ( x ? V p t ) ? ( x ? V p t ) d ? u1 = = = ?V p f1 (ξ ) ?t d ( x ? Vpt ) ?t dξ

ξ = x ? Vpt
向及z向的速度分量为零 沿y向及 向的速度分量为零。 向及 向的速度分量为零。

? u1 = ?ε x Vp

ε x的数值很小,故可见质点运动的速度远远小于此波的传播 的数值很小,
速度。 速度。

u2 = f2(x +Vpt)

分析: 分析:

表示一个沿x的负方向传播的纵波。 表示一个沿 的负方向传播的纵波。 的负方向传播的纵波

它的传播速度也是 Vp 综上所述,*面纵波不论其波长大小和形状如何, 综上所述,*面纵波不论其波长大小和形状如何,在 弹性介质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为: 弹性介质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为:

Vp =

(λ +2?)

ρ

再来考虑*面波传播时,介质质点的位移分量: 再来考虑*面波传播时,介质质点的位移分量:

u = v = 0, w= w x,t) (
质点内各质点的位移方向都与z轴*行,且垂直于 轴的 质点内各质点的位移方向都与 轴*行,且垂直于x轴的 轴*行 任一*面内的一切点的运动都相同,它们于oyz*面的距离 任一*面内的一切点的运动都相同,它们于 *面的距离 保持不变。 保持不变。 此一系列的*行*面,均顺着横向移动( 此一系列的*行*面,均顺着横向移动(沿z轴)。 轴 运动的传播方向与质点的位移方向垂直( 运动的传播方向与质点的位移方向垂直(即质点的振动 方向与振动的传播方向垂直),此波为*面横波 ),此波为*面横波。 方向与振动的传播方向垂直),此波为*面横波。 代入拉梅方程, 代入拉梅方程,得:

?θ t ?2w 2 +? w+ρZ ? ρ 2 =(λ +?) ?t ?z

?2w ? ?2w ?2w = =V 2 2 S 2 2 ρ ?x ?t ?x

? V = ρ
2 S

此为*面横波的波动方程。 此为*面横波的波动方程。

解此偏微分方程;(二阶线形偏微分方程),其通解为: 解此偏微分方程;(二阶线形偏微分方程),其通解为: ;(二阶线形偏微分方程),其通解为

w= w +w = f1(x?V t) + f2(x+V t) 1 2 S S
w = f1(x?V t) 1 S
它的传播速度就是 表示一个沿x方向传播的横波。 表示一个沿 方向传播的横波。 方向传播的横波

? x ? V = = S ? t ρ

应用几何方程求出相对应的应变分量: 应用几何方程求出相对应的应变分量:

ε x = ε y = ε z = 0, γ xy = γ yz = 0
?w1 ?u df1 ( x ? VS t ) ? ( x ? VS t ) d γ xz = + = = f1 (ξ ) ?x ?z d ( x ? VS t ) ?x dξ

ξ = x ? VS t
说明弹性介质的每一个点都始终处于z及 方向的简单剪切状态 方向的简单剪切状态。 说明弹性介质的每一个点都始终处于 及x方向的简单剪切状态。 应用物理方程求出相对应的应力分量: 应用物理方程求出相对应的应力分量:

E τ xz = ?γ xz = γ xz 2(1 + υ )
其余的应力分量等于零。 其余的应力分量等于零。

弹性介质内质点沿z方向的速度分量为: 弹性介质内质点沿 方向的速度分量为: 方向的速度分量为

?w1 df1 ( x ? VS t ) ? ( x ? VS t ) d ? w1 = = = ?VS f1 (ξ ) d ( x ? VS t ) dξ ?t ?t

ξ = x ? Vpt
沿x向及 向的速度分量为零。 向及y向的速度分量为零。 向及 向的速度分量为零

γ xz 的数值很小,故可见质点运动的速度远远小于横波的传播 的数值很小,
速度。 速度。

? w1 = ?γ xz VS

w = f2(x+V t) 2 S

分析: 分析:

表示一个沿x的负方向传播的横波。 表示一个沿 的负方向传播的横波。 的负方向传播的横波

它的传播速度也是 V S 综上所述,*面横波不论其波长大小和形状如何, 综上所述,*面横波不论其波长大小和形状如何,在 弹性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。 弹性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。波 速为: 速为:

? V = S ρ

比较*面纵波与*面横波的传播速度: 比较*面纵波与*面横波的传播速度:

V λ +2? 2(1?υ) 1 P = = ,0<υ < ? υ V 1?2 2 S
故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。 故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。

研究*面波的一般情况。 研究*面波的一般情况。 设此*面波*行于x轴方向传播,介质质点的位移分量为: 设此*面波*行于 轴方向传播,介质质点的位移分量为: 轴方向传播

u =u(x,t) v =v(x,t) w= w x,t) (

代入拉梅方程,得: 代入拉梅方程,

?2u ?2u λ +2? 2 2 =Vp + X *面纵波的波动方程。 Vp = *面纵波的波动方程。 2 2 ?t ?x ρ ?2v ?2v ? =V 2 2 +Y *面横波的波动方程。 S *面横波的波动方程。 V 2 = S ?t2 ?x ρ ?2w ?2w =V 2 2 +Z *面横波的波动方程。 *面横波的波动方程。 S 2 ?t ?x E( ?υ) 1 E 2 2 Vp = ,V = S (1+υ)(1?2 )ρ υ 2( +υ)ρ 1

在一般情况下,*面波在介质中传播时, 在一般情况下,*面波在介质中传播时,介质质点的位移 分量应适应上式。 分量应适应上式。 *面波在传播中分解为两个部分: *面波在传播中分解为两个部分: 纵波,传播速度为: 纵波,传播速度为: Vp = λ +2?

ρ

? 横波,传播速度为: S 横波,传播速度为: V = ρ
结论: 结论: 在无限弹性介质中,只能传播两种*面波。 在无限弹性介质中,只能传播两种*面波。*面纵波和 *面横波。 *面横波。

§8-2无限弹性介质中的波 无旋波和等容波 无限弹性介质中的波
进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。 进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。 一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点,即 ω=0 若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点, 相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波, 相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波,又称胀缩波 或集散波。 或集散波。

ω=0?→ U =0 ??×
于是在弹性介质内存在一标量位 位移矢量

?

U =? = grad? ?

2 θt =?U =?2?,? t =??2? =?? =?2U i θ i ?

代入拉梅方程,可以得到: 代入拉梅方程,可以得到:

?2U 2 =Vp2? U +F ?t2 λ+2? Vp2 =

ρ

此为无旋波的波动方程。 此为无旋波的波动方程。 即无旋波在介质中传播时,介质质点的位移应满足的方程。 即无旋波在介质中传播时,介质质点的位移应满足的方程。 可以证明:*面纵波就是无旋波的一种特殊情况,在地震 可以证明:*面纵波就是无旋波的一种特殊情况, 勘探中一般将无旋波称为纵波。 勘探中一般将无旋波称为纵波。

二、当波传播时,在弹性介质中,介质质点发生的位移,适合 当波传播时,在弹性介质中,介质质点发生的位移, 体积应变为零的条件,这种位移状态的弹性波称为等体积波, 体积应变为零的条件,这种位移状态的弹性波称为等体积波, 简称等容波 或旋转波、畸变波。 等容波, 简称等容波,或旋转波、畸变波。

θt =0
? V = ρ
2 S

代入拉梅方程有: 代入拉梅方程有:

?2U 2 =V 2? U +F S ?t2

此为等容波的波动方程。 此为等容波的波动方程。 即等容波在介质中传播时,介质质点的位移应满足的方程。 即等容波在介质中传播时,介质质点的位移应满足的方程。 可以证明:*面横波就是等容波的一种特殊情况, 可以证明:*面横波就是等容波的一种特殊情况,在地震 勘探中一般将等容波称为横波。 勘探中一般将等容波称为横波。

研究无限弹性介质中的一般波动,介质质点的位移矢量为: 研究无限弹性介质中的一般波动,介质质点的位移矢量为:

U =UP +US UP = grad?;US = rotψ U =? +?×ψ ?

UP =UP ( x, y, z,t) 为无旋波的位移矢量 US =US ( x, y, z,t) 为等容波的位移矢量
由场论分析可以知道,一个矢量场, 由场论分析可以知道,一个矢量场,如果定义域内有散 度和旋度, 度和旋度,则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量 位的旋度场之和来表示。 位的旋度场之和来表示。 作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量 位,因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋 度场之和来表示。 度场之和来表示。

F = F +F P S F = gradΦUS = rotΨ ; P F =? Φ+?×Ψ
代入拉梅方程可以得到: 代入拉梅方程可以得到: ?2? λ +2? 用标量位表示的无旋波的波动方程。 2 2 2 用标量位表示的无旋波的波动方程。 =Vp ? ? +ΦVp = , 2 ?t ρ 用矢量位表示的等容波的波动方程。 用矢量位表示的等容波的波动方程。 2 ?ψ ? 2 2 2 =Vp ? ψ +ΨV = , S 2 ρ ?t 在无限弹性介质中,一般情况下,只有两种类型的弹性波, 在无限弹性介质中,一般情况下,只有两种类型的弹性波, 无旋波和等容波。 即无旋波和等容波。 如果在介质中有各种原因造成的波动, 如果在介质中有各种原因造成的波动,则其中每一个波动 的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别“ 的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别“单” 波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理,称为叠加原 波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理,称为叠加原 理。

§8-3 弹性介质中波的传播速度
首先研究*面波的情况,任一*面波在弹性介质中传播时, 首先研究*面波的情况,任一*面波在弹性介质中传播时, 介质质点的位移分量一般可以表示为: 介质质点的位移分量一般可以表示为:

u =u(xl + ym+ zn?ct) v =v(xl + ym+ zn?ct) w= w xl + ym+ zn?ct) (
l,m,n为*面波的法线,与波的传播方向一致。 n为*面波的法线 与波的传播方向一致。 为*面波的法线, c为传播速度。 为传播速度。 为传播速度

?u ?v ?w ′ θt =εx +εy +εz = + + =lu′ +m ′ +nw v ?x ?y ?z
‘表示 表示xl+ym+zn-ct的微分。 的微分。 表示 的微分 代入拉梅方程,整理得到: 代入拉梅方程,整理得到:

′ ′ ′ (λ +?)(l2u′ +lm ′ +nlw′) =(ρc2 ??)u′ v′
2 ′ +m v′ +m ′) =(ρc2 ??)v′ ′ ′ ′ (λ +?)(lm u nw′

′ +m ′ +n2w′) =(ρc2 ??)w′ ′ ′ (λ +?)(nlu′ nv′
? 2 ρc2 ?? ? ′ ′ v′ ?l ? ?u′ +lm ′ +nlw′ =0 λ +? ? ? ? 2 ρc2 ?? ? ′ lm ′ +?m ? u′ nw′ ?v′ +m ′ =0 λ +? ? ? ? 2 ρc2 ?? ? ′ ′ nlu′ +m ′ +?n ? nv′ ?w′ =0 λ +? ? ?

若位移能在弹性介质中存在, 若位移能在弹性介质中存在,上式中加速度一定有非零解

ρc2 ?? l2 ? λ +?
lm nl

lm

nl m n =0

ρc2 ?? 2 m? λ +?
m n
2 2
2

ρc2 ?? n ? λ +?
2

化简得: 化简得:

( ??ρc ) ( λ+2??ρc ) =0
? λ+2? c= =V ,c = =V S P ρ ρ

证明了任意*面波,不论它的传播方向如何,波速就两种情况。 证明了任意*面波,不论它的传播方向如何,波速就两种情况。

V ,V S P

现在研究一般情况。 现在研究一般情况。 我们以波前(波阵面)的*床霾ǖ拇ッ婷玻 我们以波前(波阵面)的*床霾ǖ拇ッ婷玻 在弹性介质中(各向同性),波的传播速度理解为波前*渫 在弹性介质中(各向同性),波的传播速度理解为波前*渫 ), 法线方向扩展的速度。 法线方向扩展的速度。 可以证明:在在各向同性弹性介质中, 可以证明:在在各向同性弹性介质中,不论波前的形状如 波的传播速度一般只有两种。 S P 何,波的传播速度一般只有两种。V ,V

λ +2? ? V = ,V = P S ρ ρ

§8-4 无限弹性介质中的球面波
?2U λ+2? 2 =Vp2? U +F,Vp2 = ?t2 ρ ?2U ? 2 =V 2? U +F,V 2 = S S ?t2 ρ ?2F 2 2 三维波动具有共同的形式: 三维波动具有共同的形式: =c ? F

?t2

C为波速。对于无旋波 为波速。 为波速 对于等容波 F为相应的波动函数。 为相应的波动函数。 为相应的波动函数

c =V P c =V S

由球对称性, 由球对称性,设: r为介质内任一点对坐标原点的矢径大小 r = (x2 + y2 + z2) 为介质内任一点对坐标原点的矢径大小 表明以原点为中心的任一球面,各点 值在同一瞬时都相 表明以原点为中心的任一球面,各点F值在同一瞬时都相 因此相应的波动为球面波。 等,因此相应的波动为球面波。

?F ?F ?r x ?F = = ?x ?r ?x r ?r
?2F ?F ? ? x ? x ?2F x x2 ?2F ? r2 ?x2 ? ?F = = 2 2 +? 3 ? ? ?+ 2 2 ?x ?r ?x ? r ? r ?r r r ?r ? r ? ?r ?2F y2 ?2F ? r2 ? y2 ? ?F = 2 2 +? 3 ? 2 ?y r ?r ? r ? ?r ?2F z2 ?2F ? r2 ?z2 ? ?F = 2 2 +? 3 ? 2 ?z r ?r ? r ? ?r

?2F ?2F ?2F ?2F 2 ?F 1 ?2 2 ? F= 2 + 2 + 2 = 2 + = (rF) 2 ?x ?y ?z ?r r ?r r ?r 2 ?2F 2 2 ?2F c ?2 =c ? F = (rF) 2 2 2 ?t ?t r ?r

?2(rF) 2 ?2 =c 2 (rF) 2 ?t ?r

此式为关于rF的一维波动方程。 此式为关于 的一维波动方程。 的一维波动方程

其通解为: 其通解为: rF = f1(r ?ct) + f2(r +ct)

1 F = [ f1(r ?ct) + f2(r +ct)] 球对称问题的解或为球面波的解。 球对称问题的解或为球面波的解。 r
1 f1(r ?ct) 是由原点向外以波速c传播的波 是由原点向外以波速 传播的波 r 1 f2(r +ct) 是向着原点以波速 传播的波 是向着原点以波速c传播的波 r

振幅随着r的增加成比例地减少。 振幅随着 的增加成比例地减少。 的增加成比例地减少 由场论中有关公式可得: 由场论中有关公式可得:
1 ? ? 2 ?F ? ?F 1 ?2F? ? F= 2 ?sinθ ?r (r ?r ) + ?θ (sinθ ?θ ) + sinθ ??2 ? r sinθ ? ?
2

F只 r t 函 , θ和 无 , 有 是和的 数 与 ? 关 故 1 ? 2 ?F 1 ?2 )= (rF) ? F = 2 (r 2 r ?r ?r r ?r
2

不计体力,则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为: 不计体力,则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为:
??2Ur r ?Ur 2 ? ?2Ur ? 2 Ur ? = ρ 2 ( λ+2?) ? 2 + 2 ?r r ?t ? ?r ? ?2Ur r ?Ur 2 1 ?2Ur + ? 2 Ur ? 2 2 =0 2 ?r 2 ?r r V ?t P

球对称问题,运动是无旋的, 球对称问题,运动是无旋的,于是存在一个标量位 ?
?3? r ?2? 2 ?? 1 ?2 ?? + ? 2 ? 2 2 ( ) =0 3 2 ?r 2 ?r r ?r V ?t ?r P ? ?3? r ?2? 2 ?? ? ?1 ?2 r?) ? = 3 + ∵ ? ? 2 2( 2 ?r ?r ?r ? ?r 2 ?r r ?r ?2 ?? ? ?2? ( )= ( 2 ) 2 ?t ?r ?r ?t ? 1 ? ?2? ? ?1 ?2 ∴ ? r?) ? ? 2 ( 2 ) =0 2( ?r ?r ?r ? V ?r ?t P

?? Ur = ?r

积分一次, 对r积分一次,得到: 积分一次 得到:

1 ?2 1 ? 2? r? ) ? 2 2 = F (t ) 2 ( r ?r VP ?t

F (t )为t的任意函数,在一般情况下,F (t )不等于零。

此为线性非齐次偏微分方程,其通解为齐次的通解和任 此为线性非齐次偏微分方程, 一非齐次的特解之和。 一非齐次的特解之和。
方程式任意一个特解?1 (t ),它只是t的函数,由U r = 这个特解不会影响到位移U r。 F (t )可以取为零 ?2 ?2 ∴ 2 ( r? ) = VP 2 2 ( r? ) ?t ?r ?? 可见, ?r

此为波动方程

通解为: 通解为: r? = f1 (r ? VP t ) + f 2 (r + VP t ) 1 ? = [ f1 (r ? VP t ) + f 2 (r + VP t ) ] r 上式为波动方程的球对*狻 上式为波动方程的球对*狻

§8-5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波
设介质中有一球形空腔,半径为δ 设介质中有一球形空腔,半径为δ 球腔内部发生爆炸,在腔壁上产出一均匀分布的压力, 球腔内部发生爆炸,在腔壁上产出一均匀分布的压力,其 压强为p 压强为p。 在它的作用下,介质内任一个微体不产生转动, 在它的作用下,介质内任一个微体不产生转动,仅产生膨 缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。 缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。 求介质中任一点M的位移 U 求介质中任一点 的位移

设 强 p, p = p0F(t), p0为 数 压 为 常
; 0<t<T) F(t) ≠ 0 ( ; 0>t,t>T,且 t=0时 介 处 静 状 ) , 质 于 止 态 F(t =0 (
在此情况下, 在此情况下,介质中传播的是球面纵波

由球面波的波动方程

?2 ?2 ( r? ) = VP 2 2 ( r? ) ?r2 ?t

其位移场的标量位为: 其位移场的标量位为: r? = f1(r ?V t) + f2(r +V t) P P 1 1 ? = ? [t ?a(r ?δ)]+ ?2[t +a(r ?δ)] 1 r r 1 a = ,V 为 面 波 传 速 。 球 纵 的 播 度 P V P 根据问题的条件,在介质中只能产生由震源(球面空腔源) 根据问题的条件,在介质中只能产生由震源(球面空腔源) 向外传播的波,故取第一项。 向外传播的波,故取第一项。 1 ? = ? [t ?a(r ?δ)] ? [t ?a(r ?δ)]为 知 数 ,1 未 函 。 1 r 为了确定此函数,考虑初始条件和边界条件。 为了确定此函数,考虑初始条件和边界条件。

初始条件为: 初始条件为:

τ =0,τ[t ?a(r ?δ)] =0

? [t ?a(r ?δ)] =0 1 ?? 1
?t
t=0

=0

边界条件为:在球腔表面处, 边界条件为:在球腔表面处,即

r =δ,σr =?p0F(t)

τrθ =τr? =0

?Ur ?Ur 2 r U ∵ r =λθ t +2? σ ,θ t = + ?r ?r r ?Ur 2λ r U σr =(λ +2?) + ?r r ?Ur 2λ r ? U ? ∴ (λ +2?) + ? ? =?p0F(t) r ?r=δ ?r ? ?? ∵ r= U ?r ? ?2? 2λ ??? ∴ (λ +2?) 2 + ? ? =?p0F(t) ?r r ?r ?r=δ ? 1 ? = ? ?t ?a( r ?δ ) ? 1? ? r ′ (t) + 4?a?′(t) + 4? ? (t) =? p0δ F(t) ?′ 1 1 1 2

δρ

δρ

ρ

考虑球腔半径很小的时候, 考虑球腔半径很小的时候,前两项忽略不计得

δρ
2

4?

?1(t) =?

p0δ

ρ

F(t)

p0δ3 ?1(t) =? F(t) 4?
选择常数 p0 定义

π p0δ =1 p0δ = ,
3 3

1

1 ?1(t) =? F(t) 4?π 1 1 δ ?→ ? =?(r,t) = ? (t) =? ?0, F(t ?ar) 1 r 4 r π?

π

位移

r ?? r U =Ur = r ?r r 1 ?1 a ?r = ?r2 F(t ?ar) + r F′(t ?ar)? r π? 4 ? ? 1 ?1 r 1 r ?r = F′(t ? )? ? 2 F(t ? ) + π? 4 ?r V rV V ?r P P P

函数 F (t ?

r ) VP

反映了震源的作用,称为震源强度。 反映了震源的作用,称为震源强度。

结论:球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时,介 结论:球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时, 质质点的位移不仅与震源强度有关, 质质点的位移不仅与震源强度有关,并且与震源强度的变化率 有关,还与其到震源的距离和距离的*方有关,与其成反比。 有关,还与其到震源的距离和距离的*方有关,与其成反比。

§8-6 能量密度和能流密度
弹性波的传播可以看成是一个能量由波源(震源) 弹性波的传播可以看成是一个能量由波源(震源)向周 围介质传播的过程。 围介质传播的过程。 当弹性波传播到介质中某处时, 当弹性波传播到介质中某处时,原来不动的质点开始振 因而具有了动能 同时,单元体也将产生变形。 动能, 动,因而具有了动能,同时,单元体也将产生变形。因而也 具有了势能 即应变位能或应变能)。 势能( 具有了势能(即应变位能或应变能)。 波传播时,介质由*及远一层一层地振动, 波传播时,介质由*及远一层一层地振动,能量是逐层 传播出去的。 传播出去的。 为了反映波动的能量,引入波的能量及能量密度的概念; 为了反映波动的能量,引入波的能量及能量密度的概念; 能量及能量密度的概念 能流及能流密度的概念 的概念。 能流及能流密度的概念。 波动传播中,任一瞬时, 波动传播中,任一瞬时,介质中任一单元体弹性波的能 量分为动能和势能。 量分为动能和势能。 单位体积内所含的动能称为动能密度; 单位体积内所含的动能称为动能密度;单位体积内所含 动能密度 的势能称为势能密度 单位体积内所含的总能量( 势能密度。 的势能称为势能密度。单位体积内所含的总能量(动能和势 能之和,即机械能)称为能量密度。 能之和,即机械能)称为能量密度。

单位时间内通过介质中某面积的能量称为该面积的能流, 单位时间内通过介质中某面积的能量称为该面积的能流, 能流 而单位时间内通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量称为 能流密度。 能流密度。 能流密度又称为能通量密度,或波的强度。 能流密度又称为能通量密度,或波的强度。 研究沿x轴方向传播的*面简谐纵波。 研究沿 轴方向传播的*面简谐纵波。 轴方向传播的*面简谐纵波

?2u ?2u =Vp2 2 + X ?t2 ?x

在介质中,取边长为 , , 的单元体 的单元体, 在介质中,取边长为dx,dy,dz的单元体,密度为 ρ

u =u +u2 = f1(x?Vpt) + f2(x +Vpt) 1 x u(x,t) = Acosω(t ? ) V P

动能为: 动能为:

1 1 ? ?u ? 2 K = m = ρdxdydz? ? V 2 2 ? ?t ?
2

2

相应的动能密度为: 相应的动能密度为:

K 1 ? ?u ? 1 2 2 2 ? x? εK = = ρ? ? = ρA ω sin ω?t ? ? V 2 ? ?t ? 2 ? V ? P ? ?u x? =?A sinω?t ? ? ω ?t ? V ? P
单元体的势能为: 单元体的势能为:

1 ?u Ep = σxεxdxdydz,∵ x =λθt +2?εx =(λ +2?) σ 2 ?x 1 ? ?u ? Ep = (λ +2?)? ? dxdydz 2 ? ?x ?
2

相应的势能密度为: 相应的势能密度为:

1 ? ?u ? εp = (λ +2?)? ? 2 ? ?x ?

2

? ω ?u x ? 2 λ +2? ∵ = A sinω?t ? ?,V = P ρ ?x V P ? V ? P 1 2 2 2 ? x? ∴ p = ρA ω sin ω?t ? ? ε 2 ? V ? P
动能密度与势能密度相加得到能量密度

? x? ε =εK +εp = ρA ω sin ω?t ? ? ? V ? P
2 2 2

可得: 可得: (1)动能和势能是相等的,即两者同位相,且大小相等。 )动能和势能是相等的,即两者同位相,且大小相等。 (2)当*面简谐纵波在介质中传播时,介质中同一处的能量 )当*面简谐纵波在介质中传播时, 密度总是随着时间而变化的。 密度总是随着时间而变化的。

质元的动能和势能都随时间作简谐振动, 质元的动能和势能都随时间作简谐振动, 而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。 而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。 意味着,质元经过*衡位置时, 意味着,质元经过*衡位置时, 具有最大的振动速度,同时其形变也最大。 具有最大的振动速度,同时其形变也最大。 这一点与孤立的振动系统显著不同, 这一点与孤立的振动系统显著不同,作一比较

1 x 2 2 2 ? W K = ρ ? V ω A sin ω ( t ? ) 2 Vp

1 x 2 2 2 ? W P = ρ ? V ω A sin ω ( t ? ) 2 Vp
由质元的动能和势能的振动方程,其振动曲线 由质元的动能和势能的振动方程,

1 ρ?Vω 2 A 2 2
o

?WP

?W K
y t

质元的动能和势能的振动曲线

1 2 2 ρ?Vω A 2
o

?WP

?W K
y t

弹簧振子的动能和势能振动曲线

1 KA 2 2
o

EP

EK
x

EK = EP
t

能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的 能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的 大小,但并没有反映能量是如何传播的 但并没有反映能量是如何传播的,或者质元能 大小 但并没有反映能量是如何传播的 或者质元能 量是如何变化的。 量是如何变化的。 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播。 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播。 能流密度来说明能量在媒质中的传播 能流 当弹性介质中有波传播时,任取一截面, 当弹性介质中有波传播时 , 任取一截面 , 单位时间通过该截面的能量 ——称作通过该面积的能流 称作通过该面积的能流

能流密度 通过垂直波传播播方向的单位面积的能流 ——称作能流密度 称作能流密度 称作

能流的计算

以*面简谐波为例

方向传播, 设一*面简谐波沿 x 方向传播,如图

u

?S

o



x



x

在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处 取一面积 ?S ,考虑 dt 时间通过面积 ?S 的能量

?S

u

o
udt



x



x

在面积 ?S 后做一方体,侧面积为 ?S,宽为 udt 后做一方体,

dt时间通过面积 ?S 的能量就等于方体中的能量
设能量密度为 方体中的能量 ,方体的体积为 ?sudt

?Sudt, 所以 dt 时间通过面积 ?S 的能量 ?Sudt

?S

u

o
udt



x
2 2



x
x ? = ρω A sin ω ( t ? ) Vp
2

dt 时间通过面积 ?S 的能量 ?Sudt
的能量——能流 单位时间通过面积 ?S 的能量 能流 显然, 一样, 显然, P 和 一样, 是随时间周期性地变化

?? Sudt P = = ?? Su dt

分析*面简谐纵波的能流密度: 分析*面简谐纵波的能流密度: 设垂直于波的传播方向取单位面积, 设垂直于波的传播方向取单位面积,作用于此面积上的力 (即应力)为正应力,则其能流密度为作用于此单位面积上的 即应力)为正应力,则其能流密度为作用于此单位面积上的 力在单位时间内所做的功。 力在单位时间内所做的功。 因而能流密度为: 因而能流密度为:

? ?u ?u ?u x? 2 2 2 I =? x σ =?(λ +2?) = ρA ω sin ω?t ? ?V P ?t ?x ?t ? V ? P I =εV P

*面简谐纵波传播时,任一瞬时, *面简谐纵波传播时,任一瞬时,介质中某处的能流密度 等于能量密度与其波速的乘积。 等于能量密度与其波速的乘积。 *均能流密度
P ? = 1 Idt = ρA ω V T sin2 ω?t ? x ?dt I ? ? ∫0 ∫0 T T P ? V ? T 2 2

x y =t ? , dy = dt V P
P ? = ρA ω V I ∫ T 2 2 x T?? V P x ? V P

1 2 2 sin ωydy = A ω ρ P V 2
2

ρVP

称为此波的波阻抗。 称为此波的波阻抗。

在来研究一般情况: 在来研究一般情况: 当任意弹性波在介质中传播时, 当任意弹性波在介质中传播时,介质中任一质点的动能密度为

1 2 εk = ρV 2
相应的势能密度(应变能密度) 相应的势能密度(应变能密度)为:

1 εp = A= [λ(εx +εy +εz )2 +2?(εx2 +εy2 +εz2) +?(γxy2 +γ yz2 +γzx2)] 2 能量密度为: 能量密度为:

ε =εk +εp

考虑能流密度:分析介质内一有限部分。 考虑能流密度:分析介质内一有限部分。能流密度的能量是 单位时间内通过表面积散失的能量。 单位时间内通过表面积散失的能量。

ε? = ∫εd?
根据能量守恒原理,在单位时间内机械能的减少量应该等于 根据能量守恒原理, 通过其表面积的机械能的流失量,即有: 通过其表面积的机械能的流失量,即有:

?ε 斯 式 ∫∫I idS =?∫∫∫ ?t d? 高 公 ∫∫I idS = ∫∫∫divId? S ? S ?
?ε ∫∫∫divId?=?∫∫∫ ?t d? ? ?

?ε ?ε divI =? , divI + =0 ?t ?t

在来研究一般情况: 在来研究一般情况:

?u ?v ?w Jx =σx +τxy +τxz ?t ?t ?t ?u ?v ?w Jy =τyz +σy +τyz ?t ?t ?t ?u ?v ?w Jz =τzx +τyz +σz ?t ?t ?t J = Jxi + Jy j + Jz k

?ε = divJ ?t divI +divJ =0 I =?J
此为求能流密度的一般公式。 此为求能流密度的一般公式。




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